Eigenvalues là gì

Eigenvalues và eigenvectors xuất hiện thêm cực kỳ những trong những ngành công nghệ với kỹ thuật: Vật Lý, tỷ lệ thống kê lại, KHMT, lý thuyết thứ thị, v.v. Để phát âm chân thành và ý nghĩa của chúng, tất cả hai hướng chú ý phổ biến, vận dụng được vào tương đối nhiều ngôi trường hòa hợp.

Bạn đang xem: Eigenvalues là gì

1. Loại động cơ (motivation) thứ nhất.

Trong các ứng dụng ta thường yêu cầu chiếu lệ tính sau đây: đến trước một ma trận A cùng các vectors x, tính 

*
 với nhiều quý giá khác nhau của số mũ 
*
lấy ví dụ như 1: nếu A là ma trận của một phép chuyển đổi đường tính (linear transformation) làm sao kia, nhỏng phép con quay với đàn hồi trong computer graphics ví dụ điển hình, thì 
*
 đã cho ra công dụng của phxay BĐTT này áp dụng k lần vào x. Các games laptop giỏi những annimations trong phyên ổn của Hollywood bao gồm vô vàn những phnghiền chuyển đổi kiểu dáng này. Mỗi một object trong computer graphics là một trong bộ tương đối nhiều những vector x. Quay một object các lần là lấy lệ nhân 
*
 với từng vectors x màn trình diễn object kia. Kân hận lượng tính tân oán là lớn lao, mặc dù chỉ trong không khí 3D. lấy một ví dụ 2: nếu như A là transition matrix của một chuỗi Markov tách rạc với x là distribution của tâm lý ngày nay, thì 
*
 chính là distribution của chuỗi Markov sau k bước. ví dụ như 3: các pmùi hương trình không đúng phân (difference equation) như kiểu phương trình 
*
 cũng có thể được viết thành dạng 
*
 nhằm tính 
*
 với k tùy ý. lấy ví dụ 4: lũy vượt của một ma trận xuất hiện thêm thoải mái và tự nhiên Khi giải các phương thơm trình vi phân, mở ra vào knhị triển Taylor của ma trận 
*
 ví dụ điển hình.

Tóm lại, trong tương đối nhiều vận dụng thì ta yêu cầu tính tân oán hết sức nhanh hao lũy vượt của một ma trận vuông, hoặc lũy quá nhân một vector.

Mỗi ma trận vuông đại diện thay mặt cho 1 phxay BĐTT nào đó. Lũy quá bậc k của ma trận thay mặt đại diện có thể chấp nhận được thay đổi này áp dụng k lần. Ngược lại, bất kỳ phxay BĐTT nào thì cũng có thể được thay mặt bằng một ma trận. Có không hề ít ma trận thay mặt mang đến và một BĐTT, tùy thuộc vào ta lựa chọn hệ cửa hàng nào. Mỗi lúc ta viết một vector dưới dạng 

*
 là ta sẽ ngầm định một hệ đại lý làm sao đó, thường là hệ đại lý trực chuẩn 
*
*
, và 
*
. Các tọa độ 3, -2, 5 của x là khớp ứng với tọa độ của x vào hệ cửa hàng ngầm định này.

Hệ cơ sở 

*
 nlỗi trên thường xuyên được dùng vì chưng ta “dễ” hình cần sử dụng chúng trong không gian n chiều, chúng là thành phầm phụ của hệ tọa đồ Descartes cổ xưa xuất xắc sử dụng trong không gian 2 chiều. Tuy nhiên, khi áp dụng một phép BĐTT thì các vectors 
*
 thường xuyên cũng bị biến hóa theo luôn, rất bất tiện giả dụ ta đề nghị tính 
*
 cho các quý hiếm k với x khác nhau.

Bây giờ, trả sử ta tìm kiếm được 

*
 hướng tự do tuyến tính và không thay đổi qua phép BĐTT thay mặt vì A. (Đây là đưa sử siêu to gan lớn mật, may mà lại nó lại thường đúng trong số ứng dụng nói trên.) Dùng vector 
*
 để màn biểu diễn phía thứ 
*
. Bất trở thành Có nghĩa là áp dụng A vào hướng nọ thì phía không thay đổi. Cụ thể rộng, BĐTT A làm hướng 
*
 “bất biến” nếu 
*
 với 
*
 là 1 trong con số (scalar) thực hoặc phức nào đó (cho dù ta đưa sử A là thực). Do các phía này độc lập tuyến đường tính, một vector x bất kỳ hồ hết viết được dưới dạng

*

Nếu ta lấy 

*
 làm cho hệ đại lý thì cái giỏi là tất cả áp dụng A bao nhiêu lần thì cũng không đổi hướng của những vectors trong hệ cơ sở! Vấn đề này siêu thuận lợi, bởi vì

*

bởi vậy, cầm cố vày tính lũy vượt bậc cao của một ma trận, ta chỉ việc tính lũy thừa của n số lượng cùng có tác dụng một phnghiền cộng vectors dễ dàng và đơn giản. Các giá trị 

*
là các trị đặc trưng (eigenvalues) của A, và những vectors 
*
 là các vector đặc thù (eigenvectors).

Xem thêm: Hướng Dẫn Cách Chơi Cách Lên Đồ Maokai Vị Trí Solo Top Mùa 7 Hiệu Quả

Tiếp tục với mang thiết hết sức táo bạo là n eigenvectors hòa bình tuyến đường tính cùng nhau. Nếu ta bỏ các vectors này vào những cột của một ma trận 

*
, và những eigenvalues lên đường chéo của một ma trận 
*
 thì ta có 
*
. Trong ngôi trường đúng theo này ma trận A gồm tính diagonalizable (chéo cánh hóa được). Diagonalizability với sự độc lập tuyến tính của n eigenvectors là nhì thuộc tính tương đương của một ma trận. trái lại, ta cũng có 
*
, với chính vì vậy lũy thừa của A rất dễ tính: 
*
 bởi lũy vượt của một ma trận con đường chéo cánh rất đơn giản tính.

Cụm trường đoản cú “kỹ năng mặt đường chéo cánh hóa được” (diagonalizability) nghe khiếp răng thừa, có bạn như thế nào biết giờ Việt là gì không?

Nếu ta biết được những eigenvectors và eigenvalues của một ma trận thì — bên cạnh Việc tính lũy thừa của ma trận — ta còn sử dụng chúng vào rất những vấn đề không giống, tùy theo ứng dụng ta đang xét. Ví dụ: tích những eigenvalues bằng cùng với định thức, tổng bằng với trace, khoảng cách giữa eigenvalue lớn số 1 cùng béo nhị của transition matrix của một chuỗi Markov đo vận tốc hội tụ cho equilibrium (mixing rate) với eigenvector đầu tiên là steady state distribution, vân vân.

Quay lại với chiếc “mang thiết vô cùng mạnh” sinh sống bên trên. Có một các loại ma trận nhưng mà đưa thiết này đúng; và hơn thế nữa, ta có thể tìm được những eigenvectors vuông góc nhau, đó là những normal matrices. Rất các ứng dụng trong khoa học cùng nghệ thuật mang lại ta các normal matrices. Các ngôi trường hòa hợp đặc biệt thường bắt gặp là các ma trận (thực) đối xứng với các ma trận Hermitian (đối xứng theo nghĩa phức).

Còn các ma trận không vừa lòng “đưa thiết khôn xiết mạnh” này, nghĩa là ko diagonalizable, thì làm cái gi cùng với chúng? Ta có thể tra cứu cách tạo cho chúng rất “gần” với cùng một ma trận con đường chéo cánh bằng phương pháp viết bọn chúng thành dạng chuẩn chỉnh Jordan. Đề tài này ở ngoại trừ phạm vi bài bác đã viết.

2. Loại hộp động cơ (motivation) vật dụng nhì.

Trong không hề ít áp dụng, ta “được” thao tác với 1 ma trận đối xứng: nó tất cả đầy đủ cỗ eigenvectors, cho nên vì vậy diagonalizable cùng chính vì thế hoàn toàn có thể xây cất những thuật tân oán công dụng cho những bài xích tân oán tương ứng. Không phần nhiều đối xứng, chúng còn có một ở trong tính mạnh dạn không chỉ có vậy gọi là positive (semi) definite, tức là những eigenvalues phần đa ko âm. ví dụ như 1: bài toán least squares 

*
 có ứng dụng mọi khu vực (linear regression vào statistics chẳng hạn) dẫn mang đến ma trận symmetric positive sầu (semi) definite 
*
Ví dụ 2: bài tân oán xác định xem một một điểm tới hạn của một hàm nhiều biến bất kỳ gồm bắt buộc là vấn đề rất tiểu hay là không tương tự với khẳng định xem ma trận đối xứng Hessian của các đạo hàm bậc hai trên điểm này là positive sầu definite. lấy một ví dụ 3: ma trận covariance của một random vector (hoặc một tập phù hợp tương đối nhiều sample vectors) cũng là positive (semi) definite.

Nếu A là một trong những ma trận symmetric positive definite thì ta có thể gọi những eigenvectors cùng eigenvalues theo cách không giống. Bất phương thơm trình

*

trong số đó c là một trong hằng số dương là 1 trong bất phương trình bậc 2 cùng với n biến 

*
 (những tọa độ của vector x). Nghiệm của nó là những điểm bên trong một hình e-líp trong không khí n chiều (Ellipsoid) mà n trục của ellipsoid đó là phía của các eigenvectors của A, và chiều lâu năm những trục tỉ lệ thành phần nghịch với eigenvalue khớp ứng (tỉ lệ thành phần với nghịch đảo của cnạp năng lượng của eigenvalue). Đây là trực quan tiền hình học tập phổ biến trang bị nhì của eigenvectors và eigenvalues.

Trong ngôi trường phù hợp của Principal Component Analysis (PCA) nhỏng bao gồm các bạn sẽ hỏi trong phần comment bài xích bốn duy trừu tượng, thì ta có thể hiểu nôm mãng cầu về sự lộ diện của eigen-vectors/values nhỏng sau. Giả sử ta gồm một đống những sample vectors (data points) trên một không khí n chiều làm sao kia. Các tọa độ là exponentially distributed (Gaussian noise chẳng hạn). Thì phần lớn các vectors này triệu tập vào một ellipsoid có mang vị covariance matrix (positive semi-definite). Trục lâu năm độc nhất vô nhị của ellipsoid là trục có variance tối đa, nghĩa là SNR cao. Trục này chỉ đến ta hướng trở thành thiên đặc trưng độc nhất của data. PCA mang các trục của ellipsoid có tác dụng hệ cơ sở, sau đó rước k trục dài nhất làm principal components nhằm màn biểu diễn data. (Dĩ nhiên, ta đề xuất shift dòng mean về cội tọa độ trước lúc thay đổi hệ đại lý.)